Insieme ad un mio discente, per la preparazione dell'esame di matematica finanziaria, abbiamo affrontato i due seguenti esercizi sulle scelte di portafoglio, prestando attenzione soprattutto alla duration in maniera da immunizzare dai rischi di tasso.
Bisogna innanzitutto accennare al Teorema di Fisher e Weil, relativamente ai vincoli di Bilancio e Duration:
Esercizio 1. Un investitore vuole costruire un portafoglio titoli in nlodo da immunizzare la somma di 3.000,00 euro fra 2 anni. Sul mercato sono disponibili uno zero coupon bond scadente fra un anno e un coupon bond scadente fra 3 anni, e che paga cedole annue pari a 10,00 euro. La struttura dei tassi è piatta al 7.5%.
1. Determinare la duration di ogni titolo.
2. Deterninare la con1posizione del portafoglio, intesa come valore in euro dell'investimento nei singoli titoli.
3. Determinare, per ogni titolo, il numero di quote acquistate, e ilpeso percentuale del titolo nel portafoglio• ZCB =
→ Duration = 1 * (1+0,075)^-1 / (1+0,075)^-1 = 1
→ Duration (2 anni) = 2 * (1+0,075)^-1 / (1+0,075)^-1 = 2
• COUPON BOND =
→Duration =(10*1,075^-1*1+10*1,075^-2*2+3010*1,075^-3*3)/(10*1,075^-1+10*1,075^-2+3010*1,075^-3) = 2,98
→Duration (2anni) = (10*1,075^-1*1+1510*1,075^-2*2)/(10*1,075^-1+1510*1,075^-2) = 1,992931
DURATION
• La DURATION è la durata media finanziaria di un’operazione in strumenti obbligazionari.
• Serve per valutare la rischiosità dello strumento rispetto alle variazioni di tasso del mercato
• Più è lunga la DURATION e maggiore è il rischio: tra due strumenti obbligazionari, è da preferire quello con la durata media più bassa. Nel caso dei titoli in esame, lo ZCB con duration 1 a un anno sembrerebbe meno rischioso rispetto al COUPON BOND che ha duration 2,98 (calcolato convenzionalemte su euro 3.000,00.
• Al momento T (2 anni) però i due strumenti hanno pressochè la stessa duration (ZCB = 1; COUPON BOND = 1,992931) quindi l’investimento nei singoli titoli potrà essere: ZCB euro 1500,00 e COUPON BOND 1500,00
Sia x1 la quota del primo titolo ed x2 quella del secondo allora il flusso delle entrate è il seguente: {(3000x1+10x2,10x2,3010x2);(1,2,3)} e il vincolo di bilancio è il seguente:
(3000x1+10x2)*1.075+10x2+3010x2*1.075^-1=3000 → (*)
→ 3225x1+2820,75x2 = 3000
Per il vincolo di duration consideriamo la (*) e deriviamo rispetto al tasso considerando
(3000x1+10x2)-3010x2*1.075^-2=0
→ 3000x1-2594,65x2=0
Il sistema da risolvere è 2x2 ed il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero quindi si ha una sola soluzione
x1=0.4625 e x2=0.5348
Sono le quote da acquistare cioè 46.25 di 53.48 di valore nominale di ciascun titolo
SISTEMA PER LA DETERMINAZIONE DELLE QUOTE:
· 3225x1+2820,75x2 = 3000
· 3000x1-2594,65x2=0
• X1=0.4625
• X2=0.5348
Esercizio 4 . Si consideri un 1nercato sul quale vengono quotat i i seguent i titoli:
(a) uno zero coupon bond a pront i, con vita resid ua 3 anni, e prezzo 90,00 euro;
(b) uno zero coupon bond a termine, con prezzo di acquisto tra 2 anni par i a 94,00 euro e vita resid ua un anno;
(c) un coup bond a pront i, con vita resid ua 3 anni, cedola annuale, tasso cedolare del 3,55%, e quotato alla pari.
1. Detenninar e la struttura a scadenza dei prezzi a pr onti.
2. Dire se si preferisce, in tennini di tasso interno di rendùnento, l'acquisto del titolo (a) o del titolo (e).
3. Determinare la duration del titolo (a) e del titolo (e).
4. Dire se è possibile costruire un por tafoglio con i titoli (a) e (c) in modo da coprirsi dal rischio di tasso e immunizzare 2.000,00 euro tra un anno.
TASSO INTERNO DI RENDIMENTO
• Titolo (a) = zero coupon bon a pronti, con vita residua 3 anni, e prezzo 90 euro
TIR = (VN/P)^1/t – 1 = (99,93/90)^1/3 – 1 = 3,55%
• Titolo (c) = coupon bond a pronti, con vita residua 3 anni, cedola annuale, tasso cedolare del 3,55% e quotato alla pari
Calcolo cedola = 90 * 3,55% = 3,195
Prezzo = 3,195 * (1-1,0355^-3)/0,0355 + 90 *1,0355^-3 = 90
TIR = calcolato con la funzione finanziaria excel TIR.COST(x1:x3) = 3,55%
SI PREFERISCE L’ACQUISTO SIA DEL TITOLO (a) CHE DEL TITOLO (c)
Non essendo indicato un tasso di attualizzazione di mercato abbiamo utilizzato quello del tasso cedolare, mentre dato che il titolo (c) è quotato alla pari abbiamo utilizzato il prezzo del titolo di confronto (a).
STRUTTURA PREZZI A PRONTI
• Titolo (a) = 99,93
• Titolo (b) = 94 * 1,0355^1 = 97,337
• Titolo (c) = 93,195
I prezzi a scadenza dei titoli (a) e (c) sono sviluppati nei calcoli di DURATION e TIR
Non essendo disponibile un tasso di mercato per attualizzare o capitalizzare, è stato assunto il tasso cedolare.
DURATION
• Titolo (a)
→ DURATION = 3 anni, essendo uno zero coupon bond è pari alla durata nominale
• Titolo (c)
→ DURATION =(3,195*1,0355^-1*1+3,195*1,0355^-2*2+93,195*1,0355^-3*3)/(3,195*1,0355^-1+3,195*1,0355^-2+93,195*1,0355^-3) = 2,89 anni
dato che il titolo (c) è quotato alla pari abbiamo utilizzato il prezzo del titolo di confronto (a).
IMMUNIZZAZIONE PORTAFOGLIO
• Titolo (a)
→ DURATION (T=1) = 1 anno, essendo uno zero coupon bond è pari alla durata nominale
• Titolo (c)
→ DURATION (T=1) = (3,195*1,0355^-1*1)/(3,195*1,0355^-1) = 1 anno
• Avendo entrambi i titoli duration pari ad 1, cioè coincide col momento T=1, il portafoglio può essere immunizzato con una composizione al 50 %, e cioè: Titolo (a) euro 1.000,00 e Titolo (c) euro 1.000,00